\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-02-24}
\title{Ангем}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

\section{Корни комплексных мно-в}
Если $f(x) \in R[x], deg(f(x))$ может не иметь вещественных корней.\\
$ x \in R \Rightarrow x^2+1 \not=0 \forall x \in R$.
Построим поле C как алгебра над R с крнем 1, i, при этом $i^2+1=0$.\\
\subsection{Гемо. описание С и операции сложения и умножения:}
$z=a+bi, a,b \in R$\\
Oxy - прямоугольная дек. с. координат на плоскости\\
--- много-много картинок ---\\
\subsubsection{Определение}
Число $r=\sqrt{a^a+b^2}=|z|$ наз. модулем компл. числа $z=a+bi$.
\subsubsection{Определение}
Угол $\varphi$ между лучом Ох и z наз. аргументом z, обозн. $arg(z)$.\\
Тогда $z=+bi=\sqrt{a^2+b^2}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) = r( \cos(\varphi)+i\sin(\varphi))$ - ``тригонометрическая
запись z.
\begin{proof}
	Док. её единственность:\\
	$ r(cos(\varphi) + i\sin(varphi)) = r'(\cos(\varphi')+i\sin(\varphi')) \\ r,r' > 0$\\\\$(r\cos(\varphi)) + i(r\sin(\varphi)) = (r'\cos(\varphi))+
	i(r'\sin(\varphi))$\\
	из еди. разложения по базису 1,i:\\
	$ r\cos(\varphi) = r'\cos(\varphi)\\ r\sin(\varphi) = r'\sin(\varphi)$\\\
	$r^2(\cos(\varphi)^2 + \sin(\varphi)^2) = (r')^2(\cos(\varphi')^2 + \sin(\varphi')^2)\\
	r^2 = (r')^2\Rightarrow r=r'$, т.к. $r,r'>0$\\
	$\cos(\varphi) = \cos(\varphi') \\ \sin(\varphi)$.
\end{proof}

Отсюда вытекает гем. отношение уножение.\\
\subsubsection{Лемма1}
1)$ |zz'| = |z||z'|$\\
2)$ arg(zz') = arg(z) + arg(z')$\\
\begin{proof}
	%Пусть  $ z = r (\cos (\varphi)+i \sin (\varhpi)), z' = r'( \cos (\varphi') + i \cos(\varphi'))$\\
	Тгда $zz' = rr'[(\cos(\varphi)\cos(\varphi') - \sin(\varphi)\sin(\varphi') + i(\cos(\varphi)\cos(\varphi') - \sin(\varphi)\sin(\varphi')]=
	rr'[\cos(\varphi + \varphi') + i\sin(\varphi+\varphi')]$ - тригоном. запись zz'.\\
	Из единств.: $ |zz'| = rr' = |z||z'|\\ arg(z') \equiv \varphi+\varphi' = arg(z) + arg(z') (mod 2\pi)$.

\end{proof}


\subsubsection{ Следствие 1:}
$(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))^n = \cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)$
\subsubsection{ Следствие 2:}
пусть $z = r(\cos(\varphi) + i\sin(\varphi)), r>0$\\
тогда $\sqrt[n]{z} = \{\sqrt[n]{r}\cdot(  \cos(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}) + i\sin(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}) \mid k=0,1,...,n-1\}$\\
\begin{proof}
	$ z' = r'(\cos(\varphi') + i\sin(\varphi'), (z')^n = z.$ \\ По форм. ...\\
	$(r')^n = r\\ \sin(\varphi')\equiv \varphi(mod 2\pi)\\ \Rightarrow \\ r'=\sqrt[n]{r}>0\\ n\varphi' - \varphi=2k\pi, k\in Z$\\
	$\varphi' = \frac{\varphi + 2k\pi}{n}, r\in Z$. \\
	ПУсть $\frac{\varphi_+ 2l\pi}{n}\equiv \frac{\varphi + 2k\pi}{n}) (mod 2\pi)\\
	\frac{\varphi + 2l\pi}{n} = \frac{\varphi+2k\pi}{n} + 2m\pi, m \in Z\\
	\\ strlek vniz\\
	l=k+mn\\
	l-k = mn\\
	n|(l-k)$\\
	$l$ и $k$ имеют одинако. остатки от деления на $n$.
\end{proof}


\subsubsection{Лемма 2(ещё одна, простенькая):}
\begin{enumerate}
	\item $|z+w| \le |z|+|w|$ (неравенство тре-ка)
	\item $|z-w| \ge |z|-|w|, |z-w|$ - расст. от z до w.
	\item если $z=a+b$, то для $-z- = a+bi$ верны сво-ва:\\
		$-z+w- = -z- + -w-\\
		-zw- = -z- \cdot -w-\\
		--z-- = z\\
		-z- = z \Leftrightarrow z\in R.$
\end{enumerate}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item picture
		\item picture
		\item picture
		\item остальные доказать самим.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Теорема Даламбера-Гаусса:}
	Всякий комплексный многочлен степени $ge$ 1 имеет комплексный корень.
\begin{proof}
	$f(x) = x^n + a_1x^{n-1} .. +a_n,\\
	a_i \in C, a_n \neq 0.$\\
	Выберем $r \in R \mid  \,  r>1, r>|a_1| + \ldots + |a_n|.$\\
	Пусть $|z| = r,  \, z \in C$. Оценим расстояния от $f(z)$ до $z^n$:\\
	$|f(z) - z^n| = | a_1z^{n-1} + \ldots + a_n| \le (by Lemma 2 and 1) \le |a_1| \cdot |z|^{n-1} + \ldots + |a_n| =
	r^{n-1}(|a_1| + \frac{|a_2|}{r} + \ldots +\frac{|a_n|}{r^{n-1}}) \le (by r>1) \le r^{n-1}(|a_1|+|a_2|+\ldots + |a_n|)
	= (by r<(||+...+||)) = r^{n-1}\cdot r = r^n = |r^n| = |z^n - 0|$ Посмотрим на картику:
	Если Z пробегает окружность $|z|=r$ один раз против часовой стрелки, то $z^n$ пробегает окружность с уравнением $|w| = r^n$
	n раз против часовой стрелки.\\
	picture \\
	Т.к. расстояние от $z^n$ до $f(x)$ меньше, чем расстояние от $z^n$ до 0, то когда z пробегает окр |z|=r,
	один раз против час. стрелки, число f(z) n раз вслед за $z^n$ обойдет начало координат O по нек. замкнутому пути\\
	$ \Gamma(r) = \{ f(z) \mid |z|=r\}$ (где-то здесь используется непрерывность)\\
	Если $r \rightarrow 0$, то $\Gamma(r)$ непрерывно деформируется к $\Gamma(0)$ (ввду непр. отображ. $z \rightarrow f(z)$. Но
	$\Gamma(0) = \{ f(0) = a^n \} = \{a_n\} \neq \{0\}$. Тогда при деформировании $\Gamma(r)$ должен пройти через точку 0, т.е. 
	$\exists z_0 \mid |z_0| < |a_1| + \ldots |a_n|$ и такое, что $f(z_0) = 0$.
\end{proof}

\subsubsection{Следствие 1:}
	Всякий компл. многочлен степени $n\ge1$, имеет вид $a_0(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_n), a_0 \in C, a_0 \neq 0$
\begin{proof}
	Применить теорему Безу и теорему Гаусса-Даламбера.
\end{proof}

\subsubsection{Следствие 2:}
	Всякий вещественный многочлен степени $\ge 1$ разлагается в произведение вещественный многочленов степени 1 и 2.
\begin{proof}
	ПУсть $f(x) \in R[z], deg(f) = n \ge 1$, Исп. индукцию по $n$:\\
	При n=1 утв. очевидно.\\
	ПУсть $n-1 \Rightarrow n$:\\
	Т.к. $ R \in C$ как подполе, то $f(x) \in C[z]$ и по теореме f(x) имеет комплексный корень.\\
	Случай 1. Корень из $\mathbb{R}$.\\
	$\exists c \in R \mid f(c) =0$, тоогда $f(x) = (x-c)q(x), q(x) \in R[z], deg(q(x)) = n-1$. По предположению индукции q(x) - произведение
	вещественных многочленов степени 1 или 2.
	Случай 2. Корень $c=a+bi, b\neq0,\quad a,b\in R$.
\end{proof}



\end{document}