\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-03-03}
\title{Ангем}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

\section{Линейные отображеия векторных пространств}
............................................................



\subsection{Примеры}
\begin{enumerate}

  \item Напр. угловое движения (изметрии) повороты вокруг О, отражения относ. прямых, прох. через О.
  \item Алгебраический пример.
    $k$ - любое, $n, S$  - любое натуралонь, $V=k^S, A=(a_y)$ - матр. порядка $s$ x $n$ и пусть $A: x \rightarrow Ax$.\\
    image\\
    Это - линейное отображеия по сво-ву матрицы.
  \item $ V = W$ - про-во мн-в отображен. $t$.\\
      $D: f(x) \rightarrow f'(t)$ - \\
      $D(f+y) = Df + Dy, D(\lambda f)=\lambda D(f)$\\
      Или $D : f(t) \rightarrow \sum_{k=0}^n a_k \frac{d^k f}{dt^k}$\\
    Ещё: $I: f(t) \rightarrow \int_0^t g(s)f(s)ds$ - линейное интегр. операция. (вроде бы).
\end{enumerate}

\subsection{Задание образом базиса и матрицей}
\subsubsection{Теорема (о свободе)}
	Пусть $V$ и W  - век. про-ва над полем К, $e_1,....,e_n$ - базис V, $a_1,...a_n$ - любой набор вект. из W.
	Тогда сущ. ед лин. отобр. $A:V \rightarrow W$, такое что $Ae_j = a_j, \forall j=1\ldots n$.
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}
			\item Едниственность:\\
				Если $\forall j\quad Ae_j = a_j$ и А - линейно, то $\forall x \in V, x=\sum x_je_j,x_j \in K$, имеем
				$Ax = A(\sum x_je_j) = \sum x_j (Ae_j) = \sum x_ja_j$.\\
				Т.о. А - единственно.
			\item Существование:\\
				Зададим отображение А формулой $x = \sum x_ja_j \Rightarrow Ax = \sum x_ja_j$.
				Линейность А: Если $y = \sum y_je_j$, то $ x+y \sum (x_j+y_j)e_j, A(x+y) \sum (x_j + y_j)a_j =
				\sum x_j a_j + \sum y_ja_j = Ax + Ay$. Если $\lambda \in K$, то $\lambda x = \sum (\lambda x_j)e_j,
				A(\lambda x) = \sum(\lambda x_j) a_j = \lambda \sum x_ja_j = \lambda (Ax)$.\\
				Кроме того $\forall j\quad A e_j = a_j$.
		\end{enumerate}
	\end{proof}
\subsubsection{Определение}
	Пусть $e_1,\ldots,e_n$ - базис про-ва $V$, $f_1...f_s$ - базис про-ва $W$. Тогда $e_j = \sum_{i=1}^s a_{ij}f_i, e_{ij}\in K$, тогда матрица $A_e^f=(a_{ij})$ называется
	матрицей лин. отобр. А в паре базисов $e$ и $f$.\\
	В матрице $A_f^e$ j-й столбец - это координатный столбец вектора $Ae_j$ в базисе $f_1,\ldots,f_s$. Если $W=V$, то обычно берут один базис $f_1=e_1,\ldots,f_n=e_n$ и
	матрица $A_e^e =: A_e$ называется матрицей леинейного оператора А в базисе $e_1,\ldots,e_n$.
\subsubsection{Пример}
	$V = \} $ про-во вещественных многочленов степени $ \le n\}. D$ - дифф., базис
	$V : 1, t, t^2,..., t^n$. Тогда \\$D1 = 0  = 0\cdot1 + 0\cdot t+0 \cdot t^2+...$\\
	$Dt = 1  = 1\cdot1 + 0\cdot t+0 \cdot t^2+...$\\
	$Dt^2 = 0  = 0\cdot1 + 2\cdot t+0 \cdot t^2+...$\\
	matrix
	
\subsubsection{Следсвтие (Теорема о свободе)}
	Всякое линейное отображения в конечномерном векторном про-ве \textbf{однозначно} задатся своей матрицей в паре базисов. Эта матрица может быть \textbf{любой}
	
\subsection{Действия в координатах}.
\subsubsection{Теорема}
%	\newtheorem{Действия в координатах}
	Пусть $A: V \rightarrow W$ - линейное отображения век. про-ва над полем К, $e_1...e_n$ - базис V, $f_1...f_n$ - базис W.\\
	Тогда если $y=Ax$, то $yf = A_e^f x_e$, где $x_e, y_f$ - координатные столбцы векторов х и у в базисах $e_1...e_n$ и $f_1...f_s$ соответственно.
	\begin{proof}
		$Ae_j = \sum_i a_{ij}f_i, \quad A_f^e = (a_{ij})$\\
		Удобно скаляр исать справа:
		$Ae_j = \sum_i f_ia_{ij}$\\
		Если $x = \sum x_je_j = \sum e_jx_j$, то $y=Ax=a(\sum e_jx_j) = \sum(Ae_j)x_j = \sum_j (\sum_i f_ia_{ij})x_j = \sum_{i=1}^s f_i(\sum_j a_{ij}x_j)$\\
		Значит,
		matrx
	\end{proof}

\subsection{Замена матрицы при замене базисов}
\subsubsection{Определение}
	Пусть $e_1...e_n$ и $e_1'...e_n'$ - два базиса пр. V над К, ``старый'' и ``новый''.\\
	Тогда можно новый базис разложить по старому:\\
	$e_j' = \sum_i e_{ij}e_e = \sum_i e_ie_{ji}$\\
	где $C = (e_{ij})$ - квадратная матрица $n$. Она называется \textbf{матрицей перехода от старого базиса к новому}.
\subsubsection{Лемма 1}
	Матрица перехода невырожденная (обратима). Обрато служит матрица обратного перехода.
	\begin{proof}
		Пусть ещё $C' = (c_{ij}') \text{ - матрица обратного перехода}, \quad e_j = \sum e_{ij}'e_j' = \sum_i e_i'c_{ij}'$.\\
		Тогда вектор $e_k = \sum_j e_j'c_{jk}' = \sum _j (\sum_i e_ic_{ij}) = c_{jk}' = \sum_i e_i (\sum_j c_{ij}c_{jk}')$. (там использовалось что-то из того, что есть
		выше, чтобы выразить $e_j'$).
		$ = \sum_i e_i (\sum_j c_{ij}e_{jk}').$\\
		Это равенство означает $CC' = E$. $C^{-1} = C',\quad det C \ne 0$.
	\end{proof}
\subsubsection{Лемма 2}
	Пусть $e_1...e_n$ и $e_1'...e_n'$ - два базиса $V, x_e$ и $x_{e'}$ - коорд. столбца вект. $x \in V$ в базисах $e$ и $e'$. Если $C:e\rightarrow e'$ - матрица перехода,
	то\\ $x_e = Cx_e,\quad x_{e'} = C^{-1}x_e$.
	\begin{proof}
		Имеем $x = \sum e_jx_j = \sum_j (\sum_i e_ic_{ij})x_j' = \sum_i e_i (\sum_j e_{ij}x_j')$. Значит\\$x_e = 
		\begin{pmatrix}
			\sum_j e_{1j}x_j' \\ \vdots \\ \sum_j e_{nj}x_j'
		\end{pmatrix}$
	\end{proof}

\subsubsection{Теороема}
	Пусть $A:V\rightarrow W$ - вект. про-во над К. Пусть $e_1...e_n$ и $e_1'...e_n'$ - два базиса V и $C_1:e+e'$ - матрица перехода. Пусть $f_1...f_s$ и $f_1'...f_s'$ - 
	два базиса $W$ и $C_2:f \rightarrow f'$ - матрица перехода. \\
	Тогда $ A_{f'}^{e'} = C_2^{-1} A_f^eC-1.$\\
	Если $W=V$, $f_1=e_1...f_n=e_n, f_1'=e_1'...f_n'=e_n'$ и $C_1 = C_2 =: C$, то $A_{e'} = C^{-1}A_cC$.
	\begin{proof}
		Имеем\\ $y_f = A_f^e,\\ x_e = C_1x_{e'},\\y_f = C_2y_{f'}.$\\ Тогда $y_{f'} = C_2^{-1}y_f = C_2^{-1}A_f^ex_e = (C_2^{-1}A_f^eC_1)x_e.$\\
		С другой стороны, $y_{f'} = A_{j'}^{e'}x_{e'}$, тогда $A_{j'}^{e'} = C_2^{-1} A_f^e C_1$\\
		Т.к. отобр. в координатах полностью задат матрицу отображения.
	\end{proof}

\subsubsection{Определение}
	Матрицы $A$ и $B$ из $M_n(K)$ называются подбными над $K$, если сущ. $C \in M_n(K), det C \ne 0$ и такая, что $B = C^{-1}AC$\\
	\textbf{Матрица лин. оператора в разных базисах подобия}. Подобие - отношение эквивалентности на $M_n(K)$.
	
\subsection{Алгебра линейных операторов}
\subsubsection{Теорема}
	Пусть $V$ - векторное про-ва размерности $n$ над полем $K$ и $L(V)$ - мно-во всех линейных операторов на $V$. Тогда $L(V)$ образует алгебра над $K$
	относительно операций
	\begin{eqnarray} (A+B)x &:=& Ax + Bx \\ (AB)x &:=& A(Bx) \\ (\lambda A)x &:=& \lambda (Ax) \end{eqnarray}
	При этом $L(V) \backsimeq M_n(K)$.
	\begin{proof}
		\begin{enumerate}
			\item Проверим, что $A+B, AB, \lambda A$ - линейные операторы, если $A$ и $B$ - линейные оператор про. $V$.
		\end{enumerate}

	\end{proof}


\end{document}
