\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-03-10}
\title{Ангем}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

аналогично доказывается, что $AB, \lambda A$ линейно.
2) Док. изоморфизм $L(V)\backsimeq M_n(K)$. Пусть $e_1,...,e_n$ - базис $V$. Устновим соответствие $ A \leftrightarrow A_e$.
Это соотв. взаимнодноз. Проверим:\\
$\begin{cases} A \leftrightarrow A_e \\ B \leftrightarrow B_e \\ \lambda \in K \end{cases} \\ \Rightarrow
A+B  \leftrightarrow  A_e + B_e \\ AB \leftrightarrow A_eB_e\\ \lambda A  \leftrightarrow \lambda A_e$.
Пусть $A_{ej} = \sum_i e_i a_{ij}, \quad A_E=(a_{ij}),\\ B_{ej} = \sum_i e_i b_{ij}, \quad B_E=(b_{ij})$\\
Тогда
$(A+B)e_j = A_{ej} + B_{ej} = \sum_i e_i (a_{ij} + b_{ij}).\\
A+B \leftrightarrow (a_{ij} + b_{ij}) = (a_{ij}) + (b_{ij}) = A_e + B_e\\
(AB)e_k = A(B_{ek}) = A(\sum_i e_i b_{ik}) = \sum_j (A_{ej})b_{jk} = \sum_j (\sum_i e_i a_{ij}) b_{jk} = \sum_i e_i (\sum_j a_{ij}b_{jk})\\
AB ...\\ \lambda A ...$\\
Изом-м доказан.\\
$M_n(K)$ - алгебра над $K \Rightarrow L(V)$ - алгебра над $K$, ассоциативная, с единицей. $E:x\longmapsto x, \forall x \in V$ и некомму. при $n\ge 2$.

\subsection{Ядро и образ линейного отображения}
\subsubsection{Определение}
	Пусть $A:V\rightarrow W$ - л.о. в пр. над п. $K$. Мно-ва\\
	$k A := \{ v \in V | Av = 0 \}\\
	i A :=\{ Av | v \in V \}$\\
	Из соотв. ядром и образом мн. от. $A$.
	
\subsubsection{Ядро и образ линейного отображения - подпро-во. $dim (Ker(A)) + dim(Im(A)) = dim(V)$.}
\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item $Ker(A)$\\
			Если $u, v \in Ker(A),  \quad \alpha, \beta \in K$, то $A(\alpha u + \beta v ) = \alpha Au + \beta A v = \alpha 0 + \beta 0 = 0\\
			\alpha u + \beta v \in Ker(A).$\\
			$Im(A):$
			Если  $Au,Av \in Im(A)$, то $\alpha (Au) + \beta (Bv) \in Im(A)$.
		\item
			Пусть $u_1,...u_d$ - базис $Ker(A), w_1=Av_1...w_2 = Av_2$ - базис $V$.
			\begin{enumerate}
				\item Линейная независимоть:\\
					$\sum \alpha_i u_i + \sum \beta_i v_i = 0$\\
					Применим $A$. Получим $\sum \beta_j w_j = 0$. Но $w_1, w_2$ - базис, $\beta_j = 0, \forall j$.\\
					Тогда $ \sum \alpha_i u_i = 0$. Но $u_1,..,u_i$ - базис, $\alpha_i = 0, \forall i$.
				\item Максимальность.\\
					Пусть $v \in V$. Тгда $Av \in Im(A),  \quad Av = \sum_j \beta_j w_j = \sum \beta_j(Av) = A (\sum \beta_j v_j),\\
					A(v - \sum beta_j v_j) = 0,  \quad v - \sum \beta_jv_j \in Ker(A),\\
					v - \sum \beta_j v_j = \sum \alpha_i u_i, \quad v=\sum\alpha_i u_i + \sum \beta_j v_j$
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}
\end{proof}


\subsubsection{Опр.}
	Числа $rk(A) := dim Im(A)$ и $def A := dim(Ker(A))$ наз. соотв. рангом и дефектом лин. отобр. $A$.
\subsubsection{Теорема}
	Пусть $A: V\rightarrow W$ - л.о. в пр. над п. $K$, $e_1,...e_n$ - базис $V$, $f_1,...f_s$ - базис $W$. $A_f^e$ - литр.лин.отоб. Тогда\\
	\begin{enumerate}
		\item $(Ker(A))$ - про-во решений однородной системы линейных ур-ий $A_e^f x = 0, x=\left( \begin{cases} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{cases} \right)$.\\
			$dem(Ker(A)) = n\cdot rk(A_f^e)$, базис $Ker(A)_e$ - ФСР.
		\item $ (Im(A))_f$ - линейная оболочка столбцов матрицы $A_f^e, dim(Im(A)) = rk(A_f^e)$.\\
			базс $(Im(A))_f$ - лаовыоавыжжыожа матрицы $A_f^e$.
	\end{enumerate}
\begin{proof}
	1)$v \in Ker(A), \quad Av = 0\\
	(Av)_f =0, \quad A_f^e v_e = 0$\\
	$v_e$ - решение системы лин. ур-ий $A_f^ex =0$.\\
	2) $V = < e_1,...,e_n > \Rightarrow (Im(A)) = <(Ae_1),...,(Ae_n)>, (Im(A), = < (Ae_1)_f,...,(Ae_n)_f >$.
\end{proof}

\subsection{Обратимые операторы}

\subsubsection{Теорема}
	Пусть $A:V \rightarrow V$ - линейный оператор конечномерного вект. про-ва $V$ над полем $K$. След. утверждение равносильно:
	\begin{enumerate}
		\item $Im(A) = V$.
		\item $Ker(A) = \{ 0 \} $.
		\item $A$ - вз. однознач. отобр. $V$ на $V$.
		\item $A^{-1}$ - сущесвует и линейно.
		\item $A$ - образ базиса $V$ - базиса $V$.
		\item Матрица $A$ невырождена: $det(A_e) \ne 0$.
	\end{enumerate}
	Такой оператор назва. обратимым или невырожденным.
\begin{proof}
	(1) и (2) равносильны ввиду ф-лы Грассмана ($ dim(Ker(A)) + dim(Im(A)) = dim V $).\\
	(1) и (2) $\Rightarrow$ (3)\\
	Вз. одноз.: $Ax = Ay \Rightarrow A(x-y) =0\Rightarrow x-y = 0 \Rightarrow x=y$\\
	``на'': $Im(A) = V$.\\
	(3) $\Rightarrow$ (4). $A^{-1}$ - сущ. по опред.\\
	линйность $A^{-1}$. Пусть $x',y' \in V,  \quad \alpha ,\beta \in K. \exists x,y \in V: Ax = x', Ay = y'.$. Тогда\\
	$A^{-1} (\alpha x' + \beta y') = A^{-1}(\alpha(Ax) + \beta (Ay)) = A^{-1} (A(\alpha x = \beta y)) = \alpha x + \beta y = \alpha (A^{-1} x') + \beta (A^{-1} y').$\\
	(4)  $\Rightarrow$ (5). Пусть $e_1,...,e_n$ - базис $V$. Дост. док. лин. нез. $Ae_1,...,Ae_n$. Пусть $ \displaystyle \sum_j \alpha_j(Ae_j)=0$. Применим $A^{-1}$:\\
	$ \displaystyle \sum_j \alpha_j A^{-1}(Ae_j)=0$\\
	(5)  $\Rightarrow$ (6). Если $e_1,...,e_n$  и $Ae_1,...,Ae_n$  - базисы $V$, то $A_e$ - матрица перехода от первого базиса ко второму. Поэтому $det(A_e) \ne 0, \quad 
	\exists A_e^{-1}.$.\\
	(6) $\Rightarrow$ (1) Ур-ие $Ax=v$ в координатах дайт крамерову систему линейных ур-ий $A_ex_e = v_e$. Эта система имеет единественно решение при любой правой части.
\end{proof}

\subsection{Собственные векторы, собственные значения и характеристический многочлен}
\subsubsection{Опр.}
	Пусть $A: V\rightarrow V$ - линейный оператор векторного про-ва $V$ над полем $K$. Вектор $v \in V$ и скаляр $\lambda \in K$ называются собственными для $A$, если
	$Av = \lambda v, v \ne 0$.\\
	
Как найти собственный вектор и собственное значение, если $A$ азадан матрицей $A_e$ в базасие $e_1,...,e_n$.?\\
Равносильно: $ (x) \left\{ \begin{cases} Av = \lambda v \\ Av - \lambda v = 0 \\ Av - \lambda Ev =0\\ (A - \lambda E)v = 0 \\ v \in Ker(A-\lambda E) \end{cases} \right. $.\\
Если $v \ne 0$, то $Ker(A-\lambda E) \\ \{ 0 \},  \quad A-\lambda E$ вырожден, его матрица вырождена:
$ \begin{pmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \ldots a{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots &
   a_{nn} - \lambda
  \end{pmatrix}=0$\\
Это ур-ие наз. характеристическим., его левая часть - хар. мн-н $(\lambda)$ с тевфдаовж $n=dim(V)$.\\
Мно-во его корней наз. спектром оператора $A$ и обозн $Sp(A)$ или $Spec(A)$.\\

\subsubsection{Теорема} 
\begin{enumerate}
	\item Характеристический многочлен не зависит от случайного выбора базиса.
	\item Всякое собственное значение - корень характеристического многочлена, принадлежащий полю скаляров.
	\item Всякий корень характер. многочлена, принадл. полю скаляров, является собственным значением.
	\item Собств. векторы, отвеч. с знач. $\lambda$ вместе с нулём, образует подпро-во:\\
		$V_\lambda (A) = Ker(A-\lambda E) = \{ x \in V | (A-\lambda E)x = 0 \}$.
\end{enumerate}
\begin{proof}\hfill
	\begin{enumerate}
		\item Если $A$ и $B$ - матрицы опреатора $A$ в базисах $e$ и $e', C: e\rightarrow e'$ - матрица перехода, то $B = C^{-1}AC$.\\
		Тогда $|B - \lambda E| = |C^{-1}AC - \lambda E|= |C^{-1}(A-\lambda E) C| = |C^{-1}| \cdot |A - \lambda E| \cdot |C| = |A - \lambda E|$.
		\item Следует из равенства (*).
		\item Следует из равенства (*).
		\item Следует из равенства (*).
	\end{enumerate}
\end{proof}

\subsubsection{Пример}
	$ V = \mathbb{R}^2, \quad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad  A: x \rightarrow Ax, x \in \mathbb{R}^2.$\\
	Если $e_1 = \left( \begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases} \right), e_2 = \left( \begin{cases} 0 \\ 1 \end{cases} \right)$\\
	То $\left\{ \begin{cases} Ae_1 ...  \end{cases} \right.$\\
	$|A - \lambda E| = |$\begin{tabular}{c c} $2-\lambda$ & $1$ \\ $3$ & $4-\lambda$ \end{tabular} $= (-\lambda)^2 + (2+4)(-\lambda) + 2\cdot 4 - 3\cdot 1 =
	(-\lambda)^2 + tr(A) \cdot (-\lambda) + det(A) = tr(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$\\
	$\lambda^2 - 6\lambda + 5 = (\lambda - 1)(\lambda - 5), \quad Sp(A) = \{ 1,5\} \in \mathbb(R)\\
	V_1(A): (A-E)x =0,\\
	\begin{tabular}{c c}
		1 & 1 \\ 2 & 3
	\end{tabular}$
	\begin{tabular}{ c }
		$x_1$ \\ $x_2$ \\
	\end{tabular}
	$=
	\begin{tabular}{c}
		0 \\ 0
	\end{tabular}$
	ФСР: $v_1 = \left( \begin{cases} 1 \\ -1 \end{cases} \right) $\\
	$V_5(A): (A-5E)x=0.\\
	\begin{tabular}{c c}
		-3 & 1 \\ 3 & -1
	\end{tabular} $
	\begin{tabular}{c}
		$x_1$ \\ $x_2$
	\end{tabular} $=
	\begin{tabular}{c}
		0 \\ 0
	\end{tabular}$
	ФСР: $v_2 = \left( \begin{cases} 1 \\ 3 \end{cases} \right) $\\

	$A$ растягивает плоскость в 5 раз от неподвижной прямой с базисом $\mathbb{R}v_1$ параллельно прямой $\mathbb{R}v_2$.
\end{document}
