\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-03-10}
\title{Ангем}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Диагонализируемые операторы}

\subsubsection{Теорема}
	Пусть $V$ - конечномерное векторное про-во над полем $K$ и $A:V\rightarrow V$ - мн. оператор, причёс $\operatorname{Sp}(A) = \{\lambda_1,...,\lambda_n\} \subseteq K, \lambda_i \ne \lambda_j, i\ne j$.\\
	Обозначим $V_i = \operatorname{Ker}(A-\lambda_i E)$\\
	След. равносильно:
	\begin{enumerate}
		\item $ \displaystyle \sum_i=1^s \operatorname{dim}(V_i) = \operatorname{dim}(V)$
		\item $ V = V_1 \oplus ... \oplus V_s $
		\item $ V$ имеет базис, сост. из собств. векторов. $A$
		\item Матрица $A$ подона диагональной над $K$.
	\end{enumerate}
\begin{proof}\hfill
	blah blah blah\hfill
	
	Пусть $v_s = v_1 + ... v_{s-1}, \quad v_i \in V_i, \forall i$. Применим оператор $A$:\\
	$\lambda_s v_s = \lambda_1v_1 + ... + \lambda_{s-1}v_{s-1}$\\Но\\
	$\lambda_s v_s = \lambda_sv_1 + ... + \lambda_sv_{s-1}$\\
	Вычтем:\\
	$ 0 = (\lambda_1 - \lambda_s) v_1 + ... +(\lambda_1 - \lambda_s) v_{s-1}$\\
	По предположению индукции: $V_1 + ... + V_{s-1} = V_1 \oplus ... \oplus V_{s-1}$\\
	Получаем: $(\lambda_i - \lambda_s) v_i = 0, i<s$\\
	С другой стороны: $ \lambda_i - \lambda_s \ne 0$. Значит $v_i=0, i<s$.\\
	Тоогда $v_s = 0$.\\
	$ V_1 + ... V_s = V_1 \oplus ... \oplus V_s$.\\
	Тогда $ \displaystyle  \operatorname{dim}(V_1 + ... + V_s) = \sum_{i=1}^s \operatorname{dim}(V_i) = \operatorname{dim}(V)$. Т.к. $V_1 + ... V_s \subseteq V_1$, то 
	$V = V_1 + ... + V_s - V_1 \oplus ... \oplus V_s$.\\
	
	$ 2)  \Rightarrow 3)$. Объединение базисов $V_i$ при $i=1...s$ даёт требуемый базис $V$.\\
	$ 3)  \Leftrightarrow 4)$. $\begin{cases} A f_1 = \lambda_1 f_1 \\ \vdots \\ A f_n = \lambda_n f_n \end{cases} \\ f_1...f_n$ - базис $V$.\\
		$ \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \hdots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & \vdots \end{pmatrix}$ - диагон.\\
		Верно и обратное. Если $e_1...e_n$ - произв. базс $V$ и $C:e \rightarrow f$ - матрица перехода, то $C^{-1} A_e C = A_f$ - диагон.\\
	$ 3) \Rightarrow 1)$ Пусть $F = \{ f_1...f_n \}$ - базис $V$, сстоящий из собственных векторов относ. $A$. Пусть $F_i$ - часть $F$, лежащая в про-ве $V_i$. Тогда $|F| \le \operatorname{dim}(V_i), \forall i$.\\
		Тогда: $ \displaystyle \operatorname{dim}(V) = |F| = \sum_{i=1}^s |F_i| \le \sum_{i=1}^{s} \operatorname{dim}(V_i)$. Отсюда $\operatorname{dim}(V_1 + ... V_s) =
		\sum_{i=1}^s \operatorname{dim}(V_i) \ge \operatorname{dim}(V)$\\
		Но $ \displaystyle V_1 + ... V_s \le V$, след. $\operatorname{dim}(V_1 + ... V_s) = \operatorname{dim}(V), \quad \sum_{i=1}^s \operatorname{dim}(V_i) = \operatorname{dim}(V)$
\end{proof}

\subsubsection{Замечание 1}
	Над полем $\mathbb{C}$ ``почти'' любой опреатор конечномерного прова $V$ диагонилизируем, поскольку у случайной квадратной матрицы над полем комплексных чисел
	характеристический многолчен имеет как правило \textbf{различные} корни.

\subsubsection{Замечание 2}
	Существует недиагонилизируемые опреаторы:
	\begin{enumerate}
		\item $A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad V = \mathbb{R}^2, \quad A:x\rightarrow Ax$\\
			$|A - \lambda E| = \lambda^2+1, \quad  \operatorname{Sp}(A) = \{ i, -i\} \not\subset \mathbb{R}$
		\item $ A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad V = \mathbb{R}^2, \quad A:x\rightarrow Ax$\\
			$|A - \lambda E| = \lambda^2, \quad  \operatorname{Sp}(A) = \{0\}$
	\end{enumerate}
	
	
	
\subsection{Инвариантные подпространства}

\subsubsection{Определение}
	Пусть $A$ - линейный оператор векторного про-ва $V$ над полем $K$. Подпро-во $U$ из $V$ наз. инвариантным относительно $A$, если $A(U) \subset U: \quad 
		u \in U  \Rightarrow Au \in U$.\\
	Отображение $ \displaystyle ^A / _U : \quad u \rightarrow Au$ называется \textbf{сужением} $A$ над $U$. Это линейный оператор.
	
\subsubsection{Примеры}
	\begin{enumerate}
		\item ``Тривиальные'' инвар. подпро-ва $\{ 0 \}$ и $V$.
		\item Одномерные инвариантные подпро-ва порождаются собственным вектором: \textit{картинко}.
	\end{enumerate}
	
\subsubsection{Теорема 1}
	Нетривиальное инвариантное подпро-во сущесвтует $\Leftrightarrow$ матрица оператор подобна полураспавшийся.
\begin{proof}
	\begin{description}
		\item[$ \Rightarrow $] Пусть $0 < U < V, AU \subset U$. Пусть $e_1...e_k$ - базис $U, \quad e_1...e_k, e_{k+1} .. e_n$ - базис $V$.\\
			Тогда\\
			$\begin{cases} Ae_1 = a_{11}e_1 + ... + a_{k1}e_k \\ Ae_k = a_{1k}e_1 + ... + a_{kk}e_k \\  Ae_{k+1} = a_{1,k+1}e_1 + ... + a_{n,k+1}e_k\\ Ae_n = ... \end{cases}$\\
%			$ A_e = \begin{pamtrx$
		\item[$ \Leftarrow $] Если $A_e$ имеет указанный вид, то надо взять $U =  e_{11}...e_k$. Тогда $AU \subset U$
	\end{description}
\end{proof}

\subsubsection{Следствие}
	$ \not\sim_{A|U}(\lambda) | \not\sim_A (\lambda).\\
	 \operatorname{Sp}(A|U) \subset  \operatorname{Sp}(A)$
	 
\subsubsection{Теорема 2}
	Конечноемерное векторное про-во над полем $\mathbb{R}$ всегда имеет инвариантную прямую или инвариантную плоскость (относительно \textbf{любого} линейного оператора).
\begin{proof}
	$ \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(V) = x < \infty, \quad A:V \rightarrow V$ - линейный оператор.
	\begin{description}
		\item[Случай 1] $\exists \lambda \in  \operatorname{Sp}(A), \lambda \in \mathbb{R}.$\\
			тогда при $n \in V: \quad n\ne 0,  \quad Ax = \lambda x.$\\
			Пусть $U = \{ \lambda u | \lambda \in \mathbb{R} \}$, тогда $ \operatorname{dim}(U)=1, \quad AU \subseteq U$.
		\item[Случай 2] $ \operatorname{Sp}(A) \not\subset \mathbb{R}$. Сущ. $\lambda \in \mathbb{C}, \quad \lambda \in  \operatorname{Sp}(A), \lambda = \alpha + i\beta, \quad 
		\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \beta \ne 0.$ Можно считать, что $V = \mathbb{R}^n, \quad A:x \rightarrow Ax, A ]in M_n(\mathbb{R}).$\\
		Пусть $ \overset{\sim}{V} = \mathbb{C}^n$ и $ \overset{\sim}{A} : x \rightarrow Ax, x \in \mathbb{C}^n.$.\\
		Тогда $ \lambda \in \operatorname{Sp}(\overset{\sim}{A}) =  \operatorname{Sp}(A)$. Сущ. $v \in \mathbb{C}^n: \overset{\sim}{A}v = \lambda v, v\ne 0$.\\
		``Расщепим'' $v: \quad v=a+ib, \quad a,b \in \mathbb{R}^n$.\\
		\item[Пример] \begin{tabular}{c}$1+2i$\\$-1+3i$\end{tabular} = \begin{tabular}{c}$1$\\$-1$\end{tabular} + $i$\begin{tabular}{c}$2$\\$3$\end{tabular}
		\item[Продолжение] Тогда:\\
%			$A(a+ib) = (\lambda + i\beta)(a+ib) \Leftfirghtarrow $
	\end{description}
\end{proof}



\subsection{Нильпотентные операторы}

\subsubsection{Опередение}
	Оператор $N$ наз. нильпотентным(переводится ``потенциально-нулевой``), если сущ. $k>0: \quad N^k = 0$
	
\subsubsection{Пример}
	$ V = \{$ мно-н стпени $\le n \}$, $D$ - дифф., тогда $D^{n+1} = 0$.
	
\subsubsection{Теорема 1}
	Ненулевоей нильпотентные оператор недиагонилизурем.
\begin{proof}\hfill
	Пусть $N^k = 0$. Если $\lambda$ - собственное значение $N$, то существует $v\ne 0: \quad Nv = \lambda v$, тогда $N^k v = \lambda^k v, \quad \lambda^kv=0$\\
	$\lambda \in K$ - поле, дел. вжфвжжафожыва\\
	Если сущ. базис $V \quad (=e_1...e_n)$, состоящий из собственных векторов отн. $N$.\\
	$Ne_1 = \lambda_1 e_1 = 0 \quad ... \quad Ne_n = \lambda_ne_n=0  \Rightarrow N=0$.\\
	Базиса из собственных векторов нет!!!111адинадинадин.
\end{proof}



\subsection{Цель: Классификация нильпотентных операторов}
\subsubsection{Определение}
	Последовательные вектора $v, Nv, N^2v,...,N^{h-1}v$ образует ниль-слой высоты $h$ с началом $v$, если $N^hv=0$.

\subsubsection{Пример}
	$ \displaystyle \frac{x^n}{n!}, \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}, ..., x, 1$ - ниль-слой высторы $n+1$  сначалом $ \displaystyle \frac{x^n}{n!}$ относительно диффиринцирования.

\subsubsection{Определение}
	Ниль-таблица - это таблица, столбцы который - ниль-слои на общей нижней горизонтальной границе.
	
\subsubsection{Определение}
	След. преобразования НТ называются элементарными:
	\begin{enumerate}
		\item Прибавление к словю выстоы $h$ отрезка высоты $h$ из другого слоя, умноженного на скаляр.
		\item Умножение слоя на ненулевой скаляр.
		\item Перестановка слоёв.
		\item Исключения нулевых векторов сдвигом слоя вниз.
	\end{enumerate}
	
\subsubsection{Лемма 1}
	Элементарные преобразования НТ сохраняют сво-во ''быть НТ`` и сохраняют линейную оболочку мно-ва векторов НТ.
\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item $\begin{pmatrix}u & v\\ Nu & Nv \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}u+\lambda V & v\\ Nu + \lambda Nv & Nv \end{pmatrix}$
		
		\item Пусть $T_1 \underset{simple preob.}{\rightarrow} T_2$. Тогда $T_2 \subset <T_1>, <T_2> \subseteq <T_1>$.\\
		Элементарные преобразования обратимы. $ T_2 \rightarrow T_1$, тогда $<T_1> \subseteq <T_2>$.
	\end{enumerate}

\end{proof}


	
\end{document}
