\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-03-24}
\title{Ангем}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

\subsubsection{Лемма 2}
	Система векторов НТ линейно-независима $\Leftrightarrow$ её перывй этаж линейно-независим.
	\begin{proof}\hfil
		\begin{description}
			\item[$\Leftarrow$)] Очевидно
			\item[$\Rightarrow$)] Пусть существует нетривиальная линейная комбинация векторов НТ, равная нулю. Применение
				$N$ снижает высоту каждого вектора НТ на один этаж. Тогда, примененя $N$ несколько раз, получим нетривиальую
				линейную комбинацию векторов первого этажа. По условию первый этаж линейно-независим. Противоречие.
		\end{description}
	\end{proof}
	
\subsubsection{Теорема}
	Пусть $N$ - это нильпотентный оператор вектороного про-ва $V$ над полем $K$. Тогда $V$  имеет нильбазис относительно $N$
	(т.е. базис, составленный из неперескающихся нильслоёв относительно $N$). Но если $s_h$ - число максимальных нильслоёв
	высоты $h$ в любом таком базисе,\\ $s_h = r_{h-1} - 2r_h + r_{h+1}$, где $r_h =  \operatorname{rk}(N^h) =  \operatorname{dim}(N^hV)$.\\
	Т. о. ``форма'' ниль-базиса зависит только от $N$ и $V$.
	\begin{proof}\hfil\\
		\begin{enumerate}
			\item \textbf{существование}\\
				Пусть $N^k = 0$ и пусть $T_1$ - нильтаблицас началами $e_1,...,e_n$, где $e_1,...,e_n$ - некоторый базис $V$:\\
				$ \displaystyle T_1 =$ \begin{tabular}{| c  c  c |}\hline
											$e_1$ & ... & $e_n$ \\ $Ne_1$ & ... & $Ne_n$ \\ ... & ... & ... \\ $N^{k-1}e_1$ & ... & $N^{k-1}e_n$ \\\hline
									\end{tabular}\\
				Очевидно, что $<T_1> = V$. При элем. преобр. это сво-во сохранятеся по лемме 1. Исключим нулевые векторы сдвигом слоёв вниз. Если
				векторы первого этажа будут линейно-зависимы, то элементарным переобр. 1 можно получить нулевой вектор на первом этаже.\\
				\textit{picture}\\
				$\alpha a + \beta c \gamma c + \delta d + \varepsilon e = 0$\\
				$c = - \frac{\alpha}{\gamma}a - \frac{\beta}{\gamma}b$\\
				Прибавим к 4м слою соотве. отрезки из 1 и 2 слоя, умноженные на $\frac{\alpha}{\gamma} + \frac{\beta}{\gamma}$\\
				Сдвигая слой вниз, построим НТ с лифавыаыфвафываыф Тогда $T_2$ - это требуемый нильбазис $V$ по лемме 2.
			\item \textbf{Единственность формы}\\
				Если дан некоторый нильбазис, то лекго найти $ \operatorname{dim}(N^hV)$:\\
					\begin{eqnarray}
						r_0 =  \operatorname{dim}(N^0V) =  \operatorname{dim}(V) = s_1 + 2s_2 + 3s_3 &+&..., \\
						r_1 =  \operatorname{dim}(N^1V) = s_2 + 2s_3 &+& ... \\
						r_2 =  \operatorname{dim}(N21V) = 2s_3 &+& ... \\
					\end{eqnarray}\\
					где $s_i$ - слои в нильтаблице.
					\textit{picture}\\
					Вычитая из каждого ур-ия следующее за ним, полуим\\
					\begin{eqnarray}
						r_0 - r_1 = s_1 + s_2 + s_3 ...\\
						r_1 - r_2 = s_2 + s_3 ...\\
						r_2 - r_3 = s_3 ...\\
					\end{eqnarray}\\
					Повторяя, полуим следующее равенство:\\
					$(r_0 - r_1) - (r_1 - r_2) = s_1$\\
					$(r_1 - r_2) - (r_2 - r_3) = s_2$\\
					...\\
					Т.е. $r_{h-1} - 2r_h + r_{h+1} = s_h \quad \forall h$.
		\end{enumerate}
	\end{proof}

\subsubsection{Пример}
	Пусть $V = \mathbb{R}^3$\\
	$ \displaystyle N = \left(\begin{tabular}{c c c}2 &  -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{tabular} \right)  \Rightarrow N^2 = 0$\\
	Найдём нильбазис.\\
	По теореме:\\
%	$ \displaystyle \left( \begin{tabular}{c c c} e_1 & e_2 & e_3 \\ Ne_1 & Ne_2 & Ne_3 \end{tabular} \right) \rightarrow ...$ НБ\\
	\begin{tabular}{c c}
		$e_1$ & $e_2$ \\ $Ne_1$ & $Ne_2$
	\end{tabular}

\subsection{Корневые подпр-ва и корневое разложение}

\subsubsection{Определение}
	Пусть $A$ - лин. опер. вект. про-вао $V$ над полем $K$. Ветор $v \in V$ называется \textbf{корневые} высоты $h$, отв. собств. значению $\lambda$ опер. $A$, если\\
	$\begin{cases}
		(A - \lambda E)^h v = 0 \\ (A - \lambda E)^{h-1}v \ne 0
	 \end{cases}$\\
	 Вектор $v$ - корневой высоты 1 $\Leftrightarrow$ $v$ - собственный вектор.\\
	 Очевидно: $ 0 <  \operatorname{Ker}(A - \lambda E) \subseteq  \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^2 \subseteq ...$\\
	 Подпро-во $ V^\lambda(A) := \overset{h \ge 0}{\cup}  \operatorname{Ker}(A - \lambda E)^h$ называется корневым, отв. собственному значению $\lambda$
	 оператор $A$. Оно состоит из нул. вектора и всех корневых, отвечающих собственному  значению $\lambda$.
	 
\subsubsection{Теорема}
	Пусть $A$ - мн. опер. в про. $V$ над полем $K$ и $ \operatorname{Sp}(A) = \{ \lambda_1, ... \lambda_s \} \subseteq K, \, \lambda_i \ne \lambda_j, i\ne j$. Пусть
	$V_j$ - корневые подпро-ва из $V$, отвечающих собственным значениям $\lambda_i$.\\
	Тогда:\\
	\begin{enumerate}
		\item $V = V_1 \oplus ... \oplus V_s, \quad AV_j \subseteq V_j, \, \forall j$
		\item $  \displaystyle  \operatorname{dim}(V_j) = k_j$, где $|A - \lambda E| = \prod_{j=1}^s (\lambda_j - \lambda)^{k_j}$, т.е. $k_j$ - кратность $\lambda_j$ в 
			$X_A(\lambda)$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}
		ниже, после лемм.
	\end{proof}


\subsubsection{Лемма 1}
	Если $AP = PA$, то $ \operatorname{Ker}(P),  \operatorname{Im}(P)$ инвар. отност. $A$. Здесь $A$ и $P$ - лин. операторы в про. $V$ над полем $K$.
	\begin{proof}\hfill
		\begin{description}
			\item[$ \operatorname{Ker}(P)$] Пусть $v \in  \operatorname{Ker}(P)$. Тогда $Pv=0$ и $P(Av) = A(Pv) = A0 = 0$.
			\item[$ \operatorname{Im}(P)$] Пусть $Pv \in  \operatorname{Im}(P)$. Тогда $ A(Pv) = P(Av) \in  \operatorname{Im}(P)$.
		\end{description}
	\end{proof}

\subsubsection{Замечание}
	Лемма верна, если $P = \sum a_kA^k$.

\subsubsection{Лемма 2}
	Пусть $P$ - линейный оператор вект. про-ва $V$ над полем $K$. Тогда $V =  \operatorname{Ker}(P) \oplus  \operatorname{Im}(P) \Leftrightarrow  \operatorname{Im}(P) =
	 \operatorname{Im}(P^2)$.
	\begin{proof}\hfil
		\begin{description}
			\item[$ \Rightarrow $] $ \operatorname{Im}(P) = PV = P( \operatorname{Ker}(P) +  \operatorname{Im}(P)) =
				P( \operatorname{Ker}(P)) \oplus ( \operatorname{Im}(P)) =0 \oplus P(PV) = P^2V =  \operatorname{Im}(P^2)$.
			\item[$ \Leftarrow $] Имеем $P( \operatorname{Im}(P)) =  \operatorname{Im}(P)$. Значит, сужение $P$ ин $ \operatorname{Im}(P)$ - невырожденный оператор.
				Отсюда $ \operatorname{Ker}(P \setminus  \operatorname{Im}(P)) = \{ 0 \}$, т.е. $ \operatorname{Ker}(P) \cap  \operatorname{Im}(P) \{ 0 \}$. Тогда
				$ \operatorname{dim}( \operatorname{Ker}(P) +  \operatorname{Im}(P)) =  \operatorname{dim}( \operatorname{Ker}(P)) +  \operatorname{dim}( \operatorname{Im}(P)) =
				 \operatorname{dim}(V), \quad  \operatorname{Ker}(P) +  \operatorname{Im}(P) \le V, \quad  \operatorname{Ker}(P) +  \operatorname{Im}(P) = V$\\
				 $V =  \operatorname{Ker}(P) \oplus  \operatorname{Im}(P)$.
		\end{description}
	\end{proof}

\subsubsection{Док-во теоремы}
	Имеем $\lambda_1 \in  \operatorname{Sp}(A)$\\
	$\operatorname{det}(A - \lambda_1E) =0, \quad V > (A-\lambda_1E)V > ... > (A-\lambda_1E)^{h_1}V = (A - \lambda_1E)^{h_1+1}V = ... = (A - \lambda_1E)^{2h_1}V = ...$\\
	Обозначим $P_1 = (A-\lambda_1E)^{h_1}$. Тогда $P_1V = P_1^2V$. По лемме 2: $ V =  \operatorname{Ker}(P_1) \oplus  \operatorname{Im}(P_1)$.\\
	Утверждается, что $ \operatorname{Ker}(P_1) = V_1$, т.е. высота корневого вектора, отвечающего $\lambda_1$ не превосходит числа $h_1$. Тогда где-то в начале
	возникает равенство (где-то после первого многоточия).\\
	Действительно (!), $ 0 <  \operatorname{Ker}(A - \lambda_1 E) < ... <  \operatorname{Ker}(A - \lambda_1 E)^{h_1} =  \operatorname{Ker}(A-\lambda_1E)^{h_1+1}=...$\\
	Ввиду теоремы о сумме размерности ядра и образа.\\
	Поэтому $V_1 = \overset{h \ge 0}\cup  \operatorname{Ker}(A - \lambda_1E)^h = \operatorname{Ker}(A - \lambda_1E)^{h_1} =  \operatorname{Ker}(P_1)$\\
	ГДе же корневые подпро-ва $V_J$ при $j > 1$??? Утверждается, что $V_j \subseteq W =  \operatorname{Im}(P_1)$.\\
	Действительно, пусть $ v \in V_j$. Тогда $(A-\lambda_jE)^hv=0$.\\
	Многочлены $(\lambda-\lambda_j)^h$ и $(\lambda-\lambda_1)^h$ взаимнопростые при $j>1$. Разрешимо в $K[\lambda]$ линейное диофантово ур-иe
	$(\lambda-\lambda_j)^h \underset{\text{неизв. мно-н}}{r(\lambda)} + (\lambda-\lambda_1)^h \underset{\text{неизв. мно-н}}{s(\lambda)} = 1$\\
	Тогда $(A - \lambda_jE)^hr(A) + (A-\lambda_1E)^{h_1}s(A) = E$. Применим к вектору $v$:\\
	$v = Ev = [(A - \lambda_jE)^hr(A) +(A - \lambda_1E)^{h_1}s(A) ]v = \underset{0}{r(A)\underset{0}{(A - \lambda_jE)^h v}} + (A-\lambda_1E)^{h_1}s(A)v$\\
	$v \in  \operatorname{Im}(A-\lambda_1E)^{h_1} = W \quad V_j \subseteq W,\, \forall j > 1$.\\
	Тогда $ \underset{-\subseteq \{ \lambda_1 ... \lambda_s \} }{\operatorname{Sp}(A\setminus W)} \subset  \operatorname{Sp}(A) = \{ \lambda_1 ... \lambda_s \}$.\\
	По теореме об инвар. подпро-вах:\\
	$V_1 \cap W = \{ 0 \}$. Отсюда $ \operatorname{Sp}(A \setminus W) = \{ \lambda_2...\lambda_s \}$\\
	$ \operatorname{Sp}(A\setminus V_1) = \{ \lambda_1 \}$.

\end{document}
