\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-03-31}
\title{Ангем}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

2) Пусть $A_j = ^A \mid _{V_j}$ - сужение $A$ на $V_j$. Тогда $  \operatorname{Sp}(A_j) = \{ \lambda_j\}$. Т.К. $ V = \oplus V_j$, то...

\subsection{Жорданов базис и жорданова форма}

\subsubsection{Теорема (Жордан, 1870)}
	Пусть $A$ - линейный оператор в конечномерном векторном про-ве $V$ над полем $K$. $ \operatorname{Sp}(A) = \{\lambda_1,...,\lambda_s\}$.
	Тогда $V$ имеет ``жорданов базис'', т.е. базис, составленный из непересекающихся нильслоёв относительно $A - \lambda_jE$. Такой базис неединственный, но его
	``форма'' единственна: если $s_h(\lambda_j)$ - число максимальных нильслоёв высоты $h$ относительно $A-\lambda_jE$ из такого базиса, то 
	$s_h(\lambda_j) = r_{h-1}(\lambda_j) - 2r_h(\lambda_j) + r_{h+1}(\lambda_j)$, где $r_h(\lambda_j) :=  \operatorname{rk}(A-\lambda_jE)^h =
	 \operatorname{dim}(A-\lambda_jE)^hV$.
	 \begin{proof}\hfil
		\begin{description}
			\item[существование)] По теореме о корневом разложении $ V = \overset{s}{\underset{j=1}{\oplus}} V_j, \quad V_j =  \operatorname{Ker}(A-\lambda_jE)^{h_j}$.\\
				Пусть $N_j = (A-\lambda_jE) \mid _{V_j}$. Тогда $N_j$ - нильпотентный оператор на $V_j$:
				$v \in V_j  \Rightarrow N_j^{h_j}v = (A-\lambda E)^{h_j}v = 0$.\\
				По теореме о нильпотентных операторах $V_j$ имеет нильбазис относительно $N_j$. Объединение таких базисов по $j=1,...,s$ даёт требуемый жорданов базис
				про-ва $V$.
			\item[единственность формы)] Пусть $F=\{f_1,...,f_n\}$ - некоторый жорданов базис $V$, тогда: $F=\cup F_j, \quad F_j \subset V_j$.\\
				Т.к. $F$ - линейно-независимая система, то $F_j$ - линейно-независима, поэтому $|F_j| \le  \operatorname{dim}(V_j)$.\\
				Если $\exists j : |F_j| <  \operatorname{dim}(V_j)$, то $ \displaystyle  \operatorname{dim}(V) = |F| = \sum_{j=1}^s |F_j| <
				\sum_{j=1}^s  \operatorname{dim}(V_j) =  \operatorname{dim}(V)$ - противоречие. (Использовалось неравенство 2 строчки назад).\\
				Следовательно $|F_j| =  \operatorname{dim}(V_j)\,\forall j, \quad F_j$ - базис $V_j$.\\
				Более того, $F_j$ - не базис относительно $N_j = (A-\lambda_jE)\mid _{V_j}$.\\
				По теореме о нильпотентных операторах
				$s_h(\lambda_j) = r_{h-1} + 2r_h - r_{h+1}$, где $r_h =  \operatorname{rk}(N_j^h) =  \operatorname{dim}(A-\lambda_jE)^hV_j$.\\
				Пусть $W = \underset{i\ne j}{\oplus} V_j, \quad d= \operatorname{dim}(W), \quad V=V_j\oplus W$. Тогда $(A-\lambda_jE)W=W$.\\
				Отсюда $(A-\lambda_jE)^h=V = (A-\lambda_jE)^h V_j \oplus (A-\lambda_jE)^hW = (A-\lambda_jE)^h V_j \oplus W$, поэтому
				$r_h(\lambda_j) = r_h + d$.\\
				Тогда $r_{h-1}(\lambda_j) + 2r_h(\lambda_j) +r_{h+1}(\lambda_j) = (r_{h-1}+d) -2(r_h+d) + (r_{h+1}+d) = r_{h-1}-2r_h+r_{h+1} = s_h(\lambda_j)$.
		\end{description}
	 \end{proof}
	 
\subsubsection{Слдествие (матричная форма теоремы Жордана)}
	Пусть $A \in M_n(K), \quad  \operatorname{Sp}(A) = \{\lambda_1,...,\lambda_s\} \subseteq K$, тогда $A$ подобна над полем $K$ клеточно-диагональной матрице\\
	$J_A = ...$\\
	Матрица $J_A$ называется жордановой формой для $A$, а клетки $J_h(\lambda_j)$ называются жорадновыми клетками порядка $h$, отвечающими собственному значению $\lambda_j$.\\
	Если $s_h(\lambda_j)$ - число клеток $J_h(\lambda_j)$ из $J_A$, то $s_h(\lambda_j) = r_{h-1}(\lambda_j) - 2r_h(\lambda_j) + r_{h+1}(\lambda_j)$, где $r_h(\lambda_j) :=  \operatorname{rk}(A-\lambda_jE)^h =
	 \operatorname{dim}(A-\lambda_jE)^hV$. (как-то так...).\\
	Таким образом, $J_A$ задаётся $A$ относительно с ран.. до перестановки \\
	\begin{proof}\hfil\\
		Пусть $V=K^n, \, A:x\rightarrow Ax, \, x \in K^n$, Если $e_1,...,e_n$ - станд. базис $K^n$, то $A_k=A, \operatorname{Sp}(A) = \{\lambda_1,...,\lambda_s)
		\subseteq K$, По теореме Жорадана $V=K^n$ имеет жорданов базис. Пусть $f_1,...,f_h$ - максимальный нильслой высоты $h$ относительно $A-\lambda_JE$ из данного
		жорданова базиса, тогда:\\image\\
		$ \displaystyle \begin{cases} (A-\lambda_jE)f_1=0\\(A-\lambda_jE)f_2=0\\\vdots\\(A-\lambda_jE)f_1=0\end{cases} \Leftrightarrow
		\begin{cases} Af_1 = \lambda_jf_1\\Af_2 = f_1 \lambda_jf_2\\ \vdots \\ Af_h = f_{h-1} + \lambda_jf_h \end{cases} \Leftrightarrow
		A_{(f_1...f_h)} =\begin{pmatrix} \lambda_j & 1 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_j & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & . & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_j \end{pmatrix}$\\
		Т.о. макс. нильслою высоты $h$ относительно $A-\lambda_jE$ из жорад. базиса отвечает жорд. клетки $J_h(\lambda_j)$ из $J_A$.\\
		Формула для $S_h(\lambda_j)$ следует из теоремы.
	\end{proof}

\subsubsection{Пример}
	$K = \mathbb{R},  \quad  V = \mathbb{R}^3, \quad  A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.\\
	Найдём $J_A$ и $C : C^{-1}AC = J_A$.\\
	\begin{enumerate}
		\item $|A-\lambda E| =$ \begin{tabular}{|c c c|}1 & $-\lambda$ & -1 \\ 1 & 3 & $-\lambda$\end{tabular} $\cdot (1-\lambda) = (\lambda-2)^2(1-\lambda), \quad  \operatorname{Sp}(A) = \{ 2, 1 \} \subset \mathbb{R}$.
		\item Базис корневых\\
			$V_1 =  \operatorname{Ker}(A - 2\lambda E)^2 \quad V_2  =  \operatorname{Ker}(A-E)$.\\
			По теор. о корн.: $V_1 =  \operatorname{Im}(A-E) \quad V_2 =  \operatorname{Im}(A-2E)^2$.\\
			\begin{tabular}{| c c c |} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \\ \hline \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{tabular} $\sim$
			%\begin{tabular}{| c c c |}
	\end{enumerate}

\subsection{Критерий подобия}
	Пусть $A \in M_n(K)$, $K$ - поле, $ \operatorname{Sp}(A) = \{ \lambda_1,...,\lambda_s \} \subseteq K$. Тгда матрица $B$ из $M_n(K)$ подобна $A$ над $K$, если и
	только, если выполнено:\\
	$ \displaystyle  \begin{cases} |B-\lambda E| = |A-\lambda E| = \prod_{j=1}^s(\lambda_j - \lambda)^{k_j} \\  \operatorname{rk}(B-\lambda_jE)^h =  \operatorname{rk}(A-\lambda_jE)^h, \forall h : 0<h < h_j \le k_j \end{cases}$.
	\begin{proof}\hfil
		\begin{description}
			\item[$ \Rightarrow $)] Пусть $B = C^{-1}AC$. Тогда $|B-\lambda E| = |A-\lambda E|$ (было).\\
				Кроме того, $(B-\lambda_jE)^h = (C^{-1}AC - \lambda_jE)^h) = [ C^{-1}(A-\lambda_jE)C]^h = C^{-1}(A-\lambda_jE)^h C$.\\ Поэтому
				$ \operatorname{rk}(B-\lambda_j E)^h =  \operatorname{rk}(A-\lambda_jE)^k \, \forall h$.
			\item[$\Leftarrow$)] Из условия 1), 2) и мтаричной формы теоремы Жордана следует, что жорданова форма $J_B = J_A$. Но $B \approx J_B = J_A \approx A, \, B \approx A$ над полем $K$.
		\end{description}
	\end{proof}
	
\subsection{Минимальный многочлен и теорема Гмаильтона-Кэли}

\subsubsection{Определение}
	Пусть $K$ - поле, $A \in M_n(K)$. Тогда $E, A, A^2, ...,A^{n^2}$ линейно-зависимы, т.к. $ \operatorname{dim}(M_r(K)) = n^2$.:\\
	$ \displaystyle \exists \alpha_j \in K : \sum_{j=0}^{n^2} \alpha_j\cdot A^ = 0, \quad \exists \alpha_j \ne 0$.\\
	Т.о. мн-н $f(\lambda) = \sum \alpha_j \cdot \lambda^j$ ``аннулирует'' матрицу $A$: т.е. $f(A)=0$.
	
\subsubsection{Определение}
	Многочлен $\mu_A(\lambda)$ из $k[\lambda]$ назывется минимальным аннулирующим для матрицы $A$ из $M_n(K)$ если:
	\begin{enumerate}
		\item $\mu_A(A) = 0$
		\item старший коээфициент $\mu_A(\lambda) = 1$
		\item степень $\mu_A(\lambda)$ наименьшая.
	\end{enumerate}



\end{document}
