\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-03-31}
\title{Ангем}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

\subsection{Ряды от матриц}

ПУсть $K=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.\\

\subsubsection{Определение}
Форм. степенной ряд относительно над $K$ - это выражение $ \displaystyle f(\lambda) = \sum_{k=0}^infty a_k \lambda^k,  \quad a_k \in K$\\
Его форм. приож над - это ряд $ \displaystyle sum_{k=1}^infty ka_k\lambda^{k-1}$\\
Многочлен $ \displaystyle f_n(\lambda) := sum_{k=0}^N a_k \lambda^k$ называется $N$-й частичной суммой ряда $f(\lambda)$.\\
%Ряд $f(\lambda)$ съодится в точке $\lambda_i \in K$, если сущ. предел $\lim_{N\rightarrow \infty f_N(\lambda_j)$\\
Пусть $A_0, A_1, ...$ - послед. матриц из $M_n(K)$. Матрица $L$ называется пределом послед. $A_0...$, если $L_{ij}$ = $\lim_{N\rightarrow \infty} (A_N)_{ij}, 
 \quad \forall i,j$.\\
 
Ряд $f(\lambda)$ сходится на матрице $A \in M_n(K)$, если существует $\lim_{N\rightarrow \infty} f_N(A)$.

\subsubsection{Теорема}
	Ряд $f(\lambda)$ сходится на матрице $A$ из $M_n(K), \, K=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, тогда и только тогда, когда $f(\lambda)$ и его производные до порядка
	$h(\lambda_j)$ сходятся в точках $\lambda_i \in  \operatorname{Sp}(A) = \{ \lambda_1, ..., \lambda_s \}$. Здесь $h(\lambda_j) = h_j$ - макс. размер клетки Жордана
	$J_h(\lambda_j)$ из $J_A$.
	
\subsubsection{Лемма}
	Если $\exists lim_{n\rightarrow \infty} A_N, \, \lim_{n \rightarrow \infty} B_N$, то пределы $\lim_{N \rightarrow \infty} (A_N + B_N) =$ сумма пределов. с произведением аналогично.
	\begin{proof}
		Очевидно. Опирается на сво-ва пределов суммы и произведения последовательности чисел.
	\end{proof}
	
	\begin{proof}
		Пусть $J=C^{-1}AC$ - жорданова форма мтарица $A$. Тогда\\
%		$f_n(J) = C^{-1}\codt f_N(A) \cdot C$\\
%		$\exists \lim_{N \rightarrow \infty f_N(J) \Leftrightarrow \exists \lim f_N(A')$ по лемме.\\
		Если $ j = \begin{pmatrix} j_1 & ... & 0 \\ 0 & . & 0 \\ 0 & ... & J_k \end{pmatrix}, J_k$ - жорданова клетка, то $f_N(J) = ...$ и\\
		$\exists \lim f_N(J) \Leftrightarrow \exists \lim f_N(J_k) \, \forall k$\\
		Если $J_k = J_h (\lambda_i)$, то получается большааая хрень.\\
		и $\exists \lim f_N(J_K) \Leftrightarrow \exists \lim_{N \rightarrow \infty} f_N^{(j)}$ при $<h \le h_j, \, \forall \lambda_i \in  \operatorname{Sp}(A)$.\\
		Равносильно: ряд $f(\lambda)$ и его производные до порядка $h_{i-1}$ сходится в точках $\lambda_j \in  \operatorname{Sp}(A)$. 
	\end{proof}

\subsubsection{Следствие}
	Для любой матрица из $M_n(\mathbb{C})$ сходятся ряды
	\begin{enumerate}
		\item $\exp(A) = E + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} +  \ldots $
		\item $ \displaystyle \cos(A) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{A^{2k}}{(2k)!}$
		\item $ \displaystyle \sin(A) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{A^{2k+1}}{(2k+1)!}$
	\end{enumerate}

\section{Линейной отображение евклидовых и эрмитовых пространств}
\subsection{Определения, примеры}
\subsubsection{Определения}
	Конечномерное векторное про-во $V$ над полем $\mathbb{R(C)}$ называется евклидовым (эрмитовым), если на нём задано скалярное про-ие, т.е. функция
	\begin{equation}
		(x,x) : V \times V \rightarrow K = \mathbb{R(C)}
	\end{equation}
	со сво-ами:
	\begin{enumerate}
		\item коммутативность: $(a,b) = \begin{cases} (b,a),  \quad K=\mathbb{R} \\ \overline{(b,a)}, \quad K=\mathbb{C} \end{cases}$
		\item аддитивность: $(a,b+c) = (a,b) + (a,c)$
		\item однородность: $(a, \lambda b) = \lambda(a,b)$
		\item положительность: $a\ne 0  \Rightarrow (a,a) > 0 (\in \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
\subsubsection{Простейшие следствие}
\begin{enumerate}
	\item $(a+b,c) = (a,c) + (b,c)$
	\item $(\lambda a, b) = \overline{\lambda} (a,b)$
	\item $ \displaystyle (\sum_i \alpha_i a_i, \sum_j \beta_j b_j) = \sum_i\sum_j \overline{\alpha}_i \beta_j (a_i, b_j)$
\end{enumerate}


\end{document}
