\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-04-12 - 2010-04-12}
\title{Ангем. часть 2 семестра}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

\section{Линейной отображение евклидовых и эрмитовых пространств}
\subsection{Определения, примеры}
\subsubsection{Определения}
	Конечномерное векторное про-во $V$ над полем $\mathbb{R(C)}$ называется евклидовым (эрмитовым), если на нём задано скалярное про-ие, т.е. функция
	\begin{equation}
		(x,x) : V \times V \rightarrow K = \mathbb{R(C)}
	\end{equation}
	со сво-ами:
	\begin{enumerate}
		\item коммутативность: $(a,b) = \begin{cases} (b,a),  \quad K=\mathbb{R} \\ \overline{(b,a)}, \quad K=\mathbb{C} \end{cases}$
		\item аддитивность: $(a,b+c) = (a,b) + (a,c)$
		\item однородность: $(a, \lambda b) = \lambda(a,b)$
		\item положительность: $a\ne 0  \Rightarrow (a,a) > 0 (\in \mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
	
\subsubsection{Простейшие следствие}
\begin{enumerate}
	\item $(a+b,c) = (a,c) + (b,c)$
	\item $(\lambda a, b) = \overline{\lambda} (a,b)$
	\item $ \displaystyle (\sum_i \alpha_i a_i, \sum_j \beta_j b_j) = \sum_i\sum_j \overline{\alpha}_i \beta_j (a_i, b_j)$
\end{enumerate}

\subsubsection{Примеры}
\begin{enumerate}
	\item Геометрические: $V = \{ \text{геометрических векторов} \}, \, K = \mathbb{R}$.\\
		Сво-ва скалярного про-ия - теоремы из 1-ого семестра.
	\item Алгебраический (евклидов): $V = \mathbb{R}^n, a = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}, \,
		b = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \vdots \\ \beta_n \end{pmatrix}  \Rightarrow (a,b) := \sum \alpha_i \beta_j$.
	\item Алегбраический (эрмитов?): $V = \mathbb{C}^n,  \quad (a,b) := \sum_{i=1}^n \overline{\alpha_i} \beta_j$ (эрмитово скалярное про-ие).\\
		$\left(\binom{1}{i}, \binom{1}{i}\right) = \overline{1}\cdot 1 + \overline{i}\cdot i = 1+1 = 2$\\
		Это - стандартное эрмитово про-ва размерности $n$.
	\item Функциональные: Пусть $[p, q] \subset \mathbb{R}$ и $C[p,q]$ - про-во непрерывных фнункций со знач. в $\mathbb{R}$. Зададим скалярное про-ие на
		$C[p,q]$ по правилу $( \displaystyle f,g) := \int_p^q f(t)g(t)dt$.\\
		Если $V$ - конечномерные про-ва из $C[p,q]$, то $V$ и $(f,g)$ - евкл. про-во.
\end{enumerate}

\subsection{Длина и угол}
	Число $||a|| = \sqrt{(a,a)}$ называется длиной (нормой) вектора $a$ из евклидова (эрмитова) про-ва $V$.\\
	Очевидно $||a|| \ge 0, \, ||a|| == 0 \Leftrightarrow a=0$\\
	$|| \lambda a|| = |\lambda| \cdot ||a||$, т.К. $\lambda \overline{\lambda} = |\lambda|^2$.\\
	Чтобы ввести угол, необходимо теор?.
	
\subsubsection{Теорема}
	Пусть $V$ - евклидово (эрмитово) про-во. Тгда верны:
	\begin{enumerate}
		\item Нер-во Коши-Буняковского: $ |(a,b)| \le ||a||\cdot ||b||$, равенство $\Leftrightarrow$ $a$ и $b$ линейно зависимы.
		\item Неравенсто тре-ка: $||a+b|| = ||a|| + ||b||$.
		\item Неравенство параллелограмма: $||a+b||^2 + ||a-b||^2 = 2(||a||^2 + ||b||^2)$.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}\hfil\\
		\begin{enumerate}
			\item Если $b=0$, то неравенство очевидно.\\
				Пусть $b\ne 0$. Пусть $c := a-\frac{(b,a)}{(b,b)}b$. Геометрический смысл:\\
				$c=a-\lambda b, \, c \perp b,  \quad  (b,c) =0,  \quad  (b,a-\lambda b) = 0,  \quad (b,a) - \lambda(b, b) =0 \quad \lambda = \frac{(b,a)}{b,b)}$\\
				Тогда $(b,c)=0$:\\
				$(b, a-\frac{(b,a)}{(b,b)}b) = (b,a) - \frac{(b,a)}{(b,b)} \cdot (b,b) = 0$\\
				Тогда $0 \le (c,c) = (a - \frac{(b,a)}{(b,b)}b,c) = (a,c) = (a, a-\frac{(b,a)}{(b,b)}b) = (a,a) - \frac{(b,a)}{(b,b)}\cdot(a,b)$\\
				Умножим на $(b,b)$, тогда: $0 \le (a,a)(b,b) - (b,a)(a,b)$\\
				$(b,a)(a,b) \le (a,a)(b,b)$\\
				$|(a,b)|^2 \le ||a||^2 \cdot ||b||^2$.\\
				Равенство $\Leftrightarrow c=0 \Leftrightarrow a = \frac{(b,a)}{(b,b)}b$
			\item Имеем $||a+b||^2 = (a+b, a+b) = (a,a) + (a,b) + (b,a) + (b,b) \le ||a||^2 + 2|(a,b)| + ||b||^2 \overset{(1)}{\le} ||a||^2 + 2||a||\cdot||b|| + ||b||^2 = (||a||+||b||)^2$.\\
				Осталось извлечь квадратный корень.
			\item $||a+b||^2 = ||a||^2 = (a,b) + (b,a) + ||b||^2$\\
				$ b \rightarrow -b,  \quad ||a-b||^2  = ||a||^2 - (a,b) - (b,a) + ||b||^2$. Суммируем и радуемся.
		\end{enumerate}

	\end{proof}

\subsubsection{Следствие 1}
	Скалярное про-ие можно выразить через длины векторов.
	\begin{proof}\hfil\\
		\begin{description}
			\item[Евклидов.] $(a,b) = \frac{||a+b||^2 - ||a||^2 - ||b||^2}{2}$.
			\item[Эрмитово про-во.] $(*) \quad ||a+b||^2 = ||a||^2 + (a,b) + (b,a) + ||b||^2$\\
				$b \rightarrow ib \quad ||a+ib||^2 = ||a||^2 + i(a,b) + i(b,a) + ||b||^2$\\
				Умножим $(*)$ на $i$, сложим со вторым: $i||a+b||^2 + ||a+ib||^2 = (i+1)(||a||^2 + ||b||^2) + 2i(a,b)$\\
				В итоге, $(a,b) = \frac{i||a+b||^2 + ||a+ib||^2 - (i+1(||a||^2 + ||b|^2)}{2i}$\\
				Тождеста $(**)$ и $(***)$ называется поляризационнными.
		\end{description}
	\end{proof}

\subsubsection{Следствие 2}
	$ \displaystyle |\sum_{i=1}^n a_i b_i | \le \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$. Равенство $\Leftrightarrow ...$.\\
	Угол $\varphi$ менжду вектором $a,b$
	
	\newpage
	
	
	
	
2) $V(a_1,..., a_s) = \sqrt{ \operatorname{det} (G(a_1,...,a_s))}$.\\
	$s-1 \Rightarrow s$: пусть $a_s = a_s' + a_s''$, где $a_s' \in <a_1,...a_s>, \, _s' = \lambda_1a_1 ... + \lambda_{s-1}a_{s-1}$\\
	Тогда отнимем из посл. столбка лин. комбинация  преподнятых столбцов с коэфф. $\lambda_1....\lambda_s$:\\
	...\\
	$ =  \operatorname{deg}(G(a_1...a_{s-1} \cdot ||a_s''|| = V^2 (a_1...a_{s-1}) \cdot ||a_s''||^2 - V^2(a_1...a_{s-1}a_s)$.
	
\subsubsection{Следствие 1}
	Объём параллепипеда не зависит от выбора порядка рёбер
	\begin{proof}
		При транспозиции рёбер $a_i \leftrightarrow a_j$ в матрице Грама ($G$) $G(a_1...a_s)$ меняются местами строки с номерами $i$, $j$  и столбцы с номерами $i$, $j$. В итоге, $ \operatorname{det}(G(a_1....a_s))$ не изменится.
	\end{proof}
	
\subsubsection{Следствие 2}
	Верна формула $ \displaystyle d(f, U) = \sqrt{ \frac{\operatorname{det}(G(a_1...a_s, f))}{ \operatorname{det}(G(a_1...a_s)) }}$, где $U$ -- подпро-во с базисом $a_1...a_s$.
	\begin{proof}
		Знаем, что $ d(f,u) = ||f''||$, где $f''$ -- $ \operatorname{oct}_U f$.\\
		Поэтому $ \operatorname{det}(G(a_1...a_s)) = V^2(a_1...a_s, f) = V^2(a_1...a_s)\cdot ||f''||^2 =  \operatorname{det}(G(a_1...a_s)) \cdot d^2(f, U)$.
	\end{proof}

\subsubsection{Теорема 2}
	Пусть $V$ -- евклидово про-во размерности $n$, $e_1...e_n$ - нек. ортонормированный базис $V$, $a_1...a_n$ - нек. система векторов из $V$,
	$ \displaystyle a_j = \sum_{i=1}^n e_ia_{ij}, a_{ij} \in \mathbb{R}$. \\
	Тогда если $A=(a_{ij})$, то $| \operatorname{det}(A)| = V(a_1...a_s)$.
	\begin{proof}
		Имеем $ (\operatorname{det}(A))^2 =  \operatorname{det}(A^TA)$ = |матрица 1| $\cdot$ |матрица 2| = $ \operatorname{det}(G(a_1...a_s)) = V^2(a_1....a_s)$.
	\end{proof}



\subsection{Сопряжённое отображение}

\subsubsection{Определение}
	Пусть $A:V \rightarrow W$ - линейной отображение эвклидовых пространств. Линейное отображение $A^*:W\rightarrow V$ называются сопряжённым с $A$, если 
	$(Ax, y) = (x, A^*y) \quad \forall x \in V, \, y \in W$.\\
	Равносильно $(A^*y,x) = (y, Ax) \quad \forall x \in V, \, y \in W$.
	
\subsubsection{Теорема}
	Для любого линейного отображения $A:V\rightarrow W$ евкл. про-в сопряженное отображение $A^* W \rightarrow V$ существует и ровно одно. Если $A_f^e$ - матрица
	$A$ в паре базисов $e_1...e_n$ для $V$, $f_1...f_s$ для $W$, то $(A^*)^f_e = G_e^{-1} \overline{(A_f^e)}^T G_f$, где $G_e$, $G_f$ - матрицы Грама.\\
	В частности, если $e_1...e_n$ и $f_1...f_s$ - ортонормированный базис, то $(A^*))_e^f = \overline{(A_f^e)}^T$.

\subsubsection{Лемма Рисса}
	Для любой линейной функции $f:V\rightarrow \mathbb{R(C)}$ на эвклидовом (эрмитовом) про-ве существует единственный вектор $z(f) = $ так, что $f(x) = (z,x)\, \forall x \in V$.
	\begin{proof} \hfil
		\begin{description}
			\item[существование)] Пусть $e_1...e_n$ - некоторый ОНБ $V$. Положим $ \displaystyle z := \sum_{j=1}^n \overline{f(e_j)}e_j$, тогда для любого $ \displaystyle x=\sum_j x_je_j \in V$
				имеем $ \displaystyle (z,x) = \sum_j \overline{\overline{f(e_j)}} = \sum_j x_jf(e_j) = f(\sum_j x_j e_j) = f(x)$.
			\item[единственность)] Пусть $(z', x) = (z,x)  \quad \forall x \in V$. \\
				Тогда $(z'-z, x) = 0 \quad \forall x \in V$.\\
				Положим $x:=z'-z$. Тогда $(z'-z, z'-z) =0, \, z'-z = 0, \, z'=z$.
		\end{description}
	\end{proof}

\begin{proof}
	Пусть $y \in W$ и $f(x) = (y, Ax),\, x \in V$. Тогда $f$ - линейная ф-ия на $V$. По лемме Рисса $\exists! z = z(f) = z(A, y) =: A^*y \in V$, такой, что
	$(z,x) = f(x) \, \forall x \in V$, $(A^*y, x) = (y, Ax), \, \forall x \in V, \, \forall y \in W$.\\
	Ясно, что $A^*: W \rightarrow V$\\
	Имеем для $y$, $y'\in W$, $\alpha, \alpha' \in \mathbb{R(C)}: \quad (A^*(\alpha y + \alpha'y'), x) = (\alpha y + \alpha'y', Ax) = \overline{\alpha}(y, Ax) + \overline{\alpha'}(y', Ax)...$\\
	$A^*(\alpha y + \alpha'y') = \alpha A^* y + \alpha'A^*y'$.\\
	Матрица $A^*$. Используем равенства $(e_j, A^*f_) = (A_{ei}, f_j),\, \forall i, j$\\
	$ \displaystyle A_{ej} = \sum_k f_ka_{kj}, \, A_f^e = (a_{kj})$\\
\end{proof}

\subsubsection{Верны формулы}
	$(A^*)^*)  = A$\\
	$(A+B)^* = A^* + B^*$\\
	$(AB)^* = B^* \cdot A^*$\\
	$(\lambda A)^* = \overline{\lambda}A^*$\\
	$(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}$



\subsection{Самосопряжённые операторы}

\subsubsection{Определение}
	Вещественная (комплексная) матрица $A$ называется симметрической (эрмитовой), если $A^T = A$ (соответственно, $\overline{A}^T = A)$.
	
\subsubsection{Теорема}
	Для линейного оператора $A$ евкл. (эрмит.) про-во $V$ след. утверждения равносильны:
	\begin{enumerate}
		\item $(Ax, y) = (x, Ay),  \quad \forall x, y \in V$
		\item $A^* = A$
		\item Матрица $A$ симметрична  в любом онб $V$ (?)
	\end{enumerate}

\subsubsection{Лемма}
	Пусть $A^* = A$, $U\le V$, $AU \le U$, $W=U^\perp$. Тогда:
	\begin{enumerate}
		\item $AW \le W$
		\item $^A\setminus _U$, $^A\setminus _W$ - самосопр. операторы.
	\end{enumerate}
	\begin{proof}\hfil
		\begin{enumerate}
			\item Пусть $u \in U, \, w \in W$. Тогда:
				$$(u, AW) = (Au, w) = 0, \, \forall u \in U$$\\
				$Aw\perp u, \forall u \in U$\\
				$Aw\perp U, Aw \in U^{-1} = W$\\
			\item 
				$(Ax,y) =(x,Ay)  \quad \forall x,y  \in U \subseteq V$
				$(Ax,y) =(x,Ay)  \quad \forall x,y  \in W \subseteq V$
		\end{enumerate}
	\end{proof}

\subsubsection{Теорема 2}
	Спект самосопр. оператор - вещественный. По-во отн. самосопр. оператор имеет ОНБ, сост. из с. в. ???.
	\begin{proof}
		1) Спектр\\
		$V$ - эрм, $A:V\rightarrow V$ - лин., $A^* = A$\\
		Т.к. $ \operatorname{Sp}(A) \subset \mathbb{C}$, то сущ. $v \in V$: $Av = \lambda v, \, v \ne 0$. Тогда:\\
		$(Av,v) = (v,Av)$\\
		$(\lambda v, v) = (v, \lambda v)$\\
		$\overline{\lambda}(v,v) = \lambda(v,v),  \quad (\lambda, \lambda) >0$\\
		$\overline{\lambda} = \lambda \in \mathbb{R}$\\
		В частности спектр эрм. матрицы - вещ. Т.к. симм. вещ. матрица явл. эрмит, то спектр симмметричной вещественной матрицы --
		вещественный. Тогда спектр самосопряжённого оператор в евклидовом про-ве тоже вещественный. (где-то исполь. т. 1).\\
		2) ОНБ. Построим индукцией по размерности про-ва\\
		Пусть $\lambda \in  \operatorname{Sp}(A) \in \mathbb{R}$, сущ. с.в. $v \ne 0, \, Av = \lambda v$.\\
		Пусть $U = <v>, \, W=U^\perp$. Тогда $AU \subseteq U, \, AW \subseteq W$ по лемме, $ \operatorname{dim}(W) = n-1$.\\
		$^A \setminus _W$ - самосопр. По инд. предположению существует ОНБ $f_1...f_n$.\\
		для $W$: $Af_i = \lambda_i f_i, \, i=2...n$\\
		Положим $f_1 = \frac{v}{||v||}$. Тогда $f_1 | f_2...f_n$ - треб. ОНБ $V$.
	\end{proof}

\subsubsection{Следствие}
	Всякая симметричная вещественная матрица ортогонально подобна вещественной диагональной.\\
	Всякая эрмитова унитарно подобна тоже вещественной диагональной.\\
	$A \in M_n(\mathbb{R}), \, A^T=A  \Rightarrow \exists Q \in M_n(\mathbb{R}), \, Q^{-1} = Q^T: \quad Q^{-1}AQ=D$ - вещ. диагон.\\
	$A \in M_n(\mathbb{C}), \, A^T=A  \Rightarrow \exists Q \in M_n(\mathbb{C}), \, Q^{-1} = Q^T: \quad Q^{-1}AQ=D$ - вещ. диагон.\\
	\begin{proof}
		Пусть $A$ - симметрично вещ. относительно $n$.\\
		$V = \mathbb{R}^n$ - станд. евкл. про-во, $A: x \rightarrow Ax$\\
		Если $e_1...e_n$ - стандартный ортонормированный базис, то $A_e = A$ - симметричная. $A$ - симметричный оператор $\mathbb{R}^n$.\\
		По теореме $ \operatorname{Sp}(A) = \{ \lambda_1...\lambda_n \} \subset \mathbb{R}$\\
		сущ. ОНБ $f_1...f_n$ для $\mathbb{R}^n$: $Af_i = \lambda_i f_i$.\\
		Тогда $A_f$ - диагонмальная матрица с $\lambda$ по диагонали$=:D$\\
		$A_f = Q^{-1}A_eQ$, где $Q:e\rightarrow f$ - матрица перехода.\\
		Докажем, что $Q$ - ортогональная матрица. Ясно, что $Q=(f_1...f_n)$\\
		$Q^TQ = \left( (f_i,f_j) \right) = E$, т.к. базис ортонормированный.\\
		В итоге, $D=A_f = Q^{-1}A_eQ = Q^{-1}AQ$.\\
		Для комплексной матрица - аналогично.
	\end{proof}



\subsection{Ортогональные и унитарные операторы}

\subsubsection{Определение}
	Матрица вещественная (комплексная) $A$ называется ортогональной (унитарной), если $A^{-1} = A^T$ (соответственно $A^{-1} = A^{-T}$).\\

\subsubsection{Теорема 1}
	Для линейного оператора $A$ евклидово (эрмитова) про-ва $V$ след. утверждения раносильны:
	\begin{enumerate}
		\item $||Ax|| = ||x|| \quad \forall x \in V$
		\item $(Ax, Ay) = (x,y) \quad \forall x,y \in V$
		\item $A^{-1} = A^*$
		\item Матрица $A$ - ортогональна (унитарна) в каждом ОНБ $V$
		\item Матрица $A$ - ортогональна (унитарна) в некотором ОНБ $V$
		\item $A$ - отобр. вс. ОНБ $V$ - ОНБ $V$
		\item $A$ - отобр. нек. ОНБ $V$ - ОНБ $V$
	\end{enumerate}
	Такой линейный оператор называетсяч ортогональным (унитарным).
	
\subsubsection{Следствие}
	Если $A$ - ортогональный(унитарный), то отображение $x\rightarrow Ax+b$ - изометрия (сохраняются расстояния между точками):\\
	$||(Ax+b) - (Ay+b)|| = ||A(x-y)|| \overset{1}{=} ||x-y|| \quad \forall x, y \in V$.
	
\subsubsection{Упражнение}
	Верно и обратное утверждение.
	
\begin{proof}\hfil
	\begin{description}
		\item[$1 \Rightarrow 2)$] следует из полериз. оафджвыаыжв. Напр., $(x,y) = \frac{||x+y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2}{2}$\\
			В евкл. про-ве. Тогда $(Ax,Ay)=$ аналогично получаем $(x,y)$.
		\item[$2 \Rightarrow 3)$] имеем $(x, A^*Ay) = (Ax, Ay) \overset{2}{=} (x,y) \quad \forall x, y$\\
			По леме Рисса $A^*Ay = y  \quad \forall y$\\
			По леме Рисса $A^*Ay = E  \quad A^{-1} = A^*$
		\item[$3 \Rightarrow 4)$] Если $e_1...e_n$ - ОНБ $V_y$, то $(A_e)^{-1} = (A^{-1})_e \overset{3}{=} = (A^*)_e = (\overline{A}_e)^T$
		\item[$4 \Rightarrow 5)$] тривиально :)
		\item[$5 \Rightarrow 6)$] Пусть $e_1...e_n$ - нек. ОНБ $V$ и $A_e$ - ортг(унит.). Заметим, что если $y=\sum x_ie_i, \, y=\sum y_ie_i$, то $(x,y) = \sum \overline{x}_iy_i = (\overline{x}_1...\overline{x}_n)\cdot (\overline{x}_1...\overline{x}_n)^T = \overline{x}^{-T}_e\cdot y_e$
	\end{description}
\end{proof}




\end{document}
