\documentclass{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[TS1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\hoffset=-3cm
\textwidth=18cm
\voffset=-3cm
\textheight=26cm

\date{2010-02-16}
\title{Лекции по матлогу}
\author{Зайцев Вадим}

\begin{document}
\maketitle

\section{Производная, кратные корни, ф-ла Тэйлора}
Опр. Пусть $ f(x) = sum_{i\ge 0} a_ix^i \in K(x), $ К - поле. Тогда многочлен\\
$ f'(x) = \sum_{j\ge 1} ja_j x^{j-1} $ назыв. производной для f(x), а отобр. $\frac{d}{dx}:f(a) \rightarrow f'(x)$
назыв.суперпроизодвной.

$(f+g)' = f' + g',\\
(fg+' = f'g + fg'\\
f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$\\

Указание. ДОок. про ... на базисе алгебры K(x) ввиду линпйности $\frac{d}{dx}$

Теорема 1. Пусть К - поле, c $\in K,\quad f(x) = (x-c)^k g(x), g(c) \neq=0.$ Если  $k=1+...+1 (c  \, raz \neq=0$ в К...

Док-во. Имеем
$ f'(x) = k(x-c)^{k-1} g(x) + (x-c)^k g'(x).$ Гавнюк он. Мог бы и подождать...


Теорема 2. ПУсть $f(x) \in K(x), f=n, K$ - поле. $c\in K$. Тогда $ f(x) = f(c) + \frac{f'(c)}{c!}(x-c) + \frac{f''(c)}{2!!}(x-c)^2+\ldots
+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-c)^n$.
Док-во. Обозначим через $y=x-c$, тогда $x=y+c$ иил $f(x) = \sum_{i\ge0} a_i x^i = \sum_{i\ge0} (y+c)^i = \sum_{i=0}^n r_i y^i = 
\sum_{i\ge0} r_I (x-c)^{r_i}$.
Тогда $f(c) = r_0\\
f'(c) = r_1\\
f''(c) = 2r_2\\
f^{(k)} = k! r_k\\
f^{(n)} = n! r_n$.\\ Справа должна быть хрень.
Док-во тра-ля-ля.

\section{НОД и Алгоритм Евклида}
\subsubsection{Определение}
	Пусть $f, g \in K[x]$, K - поля (хотя не важно). $g\neq=0$. Многочлен $d\in K[x]$ назыв. НОД для $f$ и $g$, и\\
	1) $d \mid f, \, d \mid g$\\
	2) $ d_1 \mid f,  \, d_1 \mid g \Rightarrow d_1 \mid d $.
	
	Обозн. $ d = GCD(f,g)$.
	Если $d_1 = GCD(f,g)$, то $d_1 \mid d, \, d \mid d_1$, значит стпень d совпадает со степенью $d_1$. $ d = d_1e, e\in K, e \neq=0$.
	Если потребовать, чтобы с.к. $d(x)=1$, то $d(x)$ - единственный НОД.
\subsubsection{Теорема:}
	Пусть К - поле, $f,g\in K[x], g(x)\neq=0$. Тогда НОД(f,g) можно найти по алгоритму Евклида:
	\begin{enumerate}
		\item $f = gq_1 + r_1$, ст $r_1$ < степени делителя.\\
		\item $g = r_1q_2 | r_2$, ст $r_2$ < ст $r_3$.\\
		\item $r_1 = r_2q_3 | r_3$, ст $r_3$ < ст $r_4$.\\
		\item ...
		\item $r_{k-1} = r_{k}q_{k+1} + r_2 \Rightarrow r_k = GCD(x,y) $\\
	\end{enumerate}
\subsubsection{Док-во}
	Пусть $f=gq+r$. Тогда $GCD(f,g) = GCD(g, r)$, т.к. совпадают мно-ва общих делителей. Отсюда по алгоритму Евклида мы получаем
	$GCD(f,g) = GCD(f, r_1) = GCD(r_1, r_2) = ... = GCD(r_{k-1}, r_k) = k_k$. Теорема доказана.

\subsection{Линейные дифоантовые уравнения.}
	$(*) fu + gv = h$\\
	Здесь $f,g,h \in K[x]$ - данные многочлены, $u, v$ - неизвестные многочлены в K[x].
\subsubsection{Теорема}
	Ур-ие (*) разрешима в $K[x] \Leftrightarrow d = GCD(f,g) \mid h$.
	\proof{
		$\Rightarrow) \text{ имеем } f = df_1, g = dg_1, f_1, g_1 \in K[x].$ Тогда $h = fu + gv = df_1u + dg_1v = d\underbrace{\in K[x]}{(f_1u + g_1v)} , d \mid h$\\
		$\Leftarrow) I = \{ fu+gv \mid u,v \in K[x] \}$. Надо доказать, что $ h \in I$. Отметим следующие сво-ва $I$:\\
		1) $h_1, h_2 \in I \Rightarrow h_1 - h_2 \in I$\\
		2) $h_1 \in I, g(x) \in K[x] \Rightarrow h_1g \in I$ x в K[x] - любой.\\
		$ h_1 = fu_1 gv_1\\ h_2 = fu_2+gv_2 \Rightarrow h_1 - h_2 = f(u_1 - u_2) + g(v_1 - v_2) \\
		h_1 q = f(u,q) + g(v, q).$\\
		Ввиду алгоритма Евклида\\
		$ f = gr_1 + _1\\ g=r_1q_2+r2\\... \\ --- \\r_{k-1} = r_k q_{k+1}$\\. Получаем: $ f-gr_q = r_1 \in I\\ g-r_1 q_2 = r_2 \in I\\
		r_1 - r_2q_3 r_3 \in I\\...\\ r_{k-2} - r_{k-1}q_k = r_k \in I$.\\ Можно считать, что $d=r_k\cdot e, e\in K, e\neq=0, d\in I.
		h = dh_1 \in I$, значит наше уравнение разрешимо
	}

\subsection{Сво-ва взаимно-простых многочленов}
Опр. могочлены f,g из К[x] назыв. взаимно-простыми, если их НОД =1.\\
Обозн $f\perp g$.
\subsubsection{Теорема}
1) $ f\perp g \Leftarrow \exists u,v \in K[x]: fu+gv=1.$\\
2) $ f \perp g_1, f \perp g_2 \Rightarrow f \perp (g_1g_2)$\\
3) $ d_1 | f, d_2 | f, d_1 \perp d_2 \Rightarrow (d_1d_2) | f$\\
4) $ p | (fg), p \perp f \Rightarrow p | g$.\\
\proof{
	1) Верно ввиду критерия разрешимости ур-ия $fu+gv=h$.\\
	2) Ввиду (1) $ \exists u_1, v_1, u_2, v_2 \in K[x]:\\
		fu_1 | g_1v_1, fu_2+g_2v_2 = 1$, пермножим эти равенства:\\
		$ f[...] + (g_1g_2)(v_1v_2) = 1$\\
		Ввиду (1) получаем, что $ f\perp g_1g_2$.\\
	3) Условие делимости: $ f=d_1f_1 = d_2f_2$. Ввиду (1) $d_1u + d_2v = 1$, где $u,v \in K[x]$ (некоторы многочлены). Умножим
		на f: $f = fd_1u  + fd_2v = d_1d_2[f_2u + f_1v]. \Rightarrow d_1d_2 \mid f.$\\
	4) Имеем $pu + fv = 1, u,v \in K[x].$ Умножим на g: $pug + (fg)v = g.\quad p[ug+hv] =g (fg = ph),\quad p \mid g.$ 
}

\subsection{Однозначность разложения мно-на на множители}

\subsubsection{Опр.}
	Мно-н $p(x) \in K[x] $ назыв. неразложимым в K[x] (на множители), если $ deg(p) \ge 1, p = uv, u,v  \in K[x] \Rightarrow
	(deg(u) = 0 || deg(v) = 0)$.
\subsubsection{Опр.}
	Многочлены $f,g$ назыв. ассоциировнными, если $f = eg, e\in K, e\neq=0$. Обозн.: $f \sim g$.
	
	Упр. ассоциир. - отно. эквив.
	
\subsubsection{Теорема}
	Пусть K - поле, тогда любой мно-н ст >=1 имеет в K[x] разложение в про-ие неразложимы в К[x] множ-ей, причём это разложене единственно
	с точно. до порядка мно-лей и ассоциированности.
\proof{
	\begin{enumerate}
		\item Существование. Пусть $f(x0 \in K[x], deg(f)\ge 1$, если f неразложим в К[x], то доказывать нечего. Если f разложим, то тогда 
			$f = f_1 f_2, deg(f_i) < deg(f), i=1,2$. Если $f_1, f_2) $- неразложимы, то получено требованное разложение, если 
			какой-либо из них разложим, то $f_i = f_{11}f_{12}, deg(f_{1g}) < deg(f_1)$.\\
			Степени понижаются, поэтмоу процесс разложения обязательно оборвётся на про-ие неразложимых множителей.\\
		\item Единственность. Если р - нераложим, то $p \mid fg$, то $p\mid f$ или $p \mid g$. Докажем это:\\
			Пусть $ p \not\mid f$. Есл $ d=GCD(p,f),$ то $d\mid p$. Если $d=1$, то $p \perp f$, и $p \mid g$ по сво-ву взаимно простых,наверное.
			Если $d \sim p, d=pe, r\in K, e\not= 0.$. Но $ d \mid f$ и тгда $ p \mid f$, что протеворечить предположение в начале пункта.\\
			Лемма 2:\\
				р - неразложимы, $p \mid (f_1f_2...f_k) \Rightarrow \exists i : p\mid f_i$.\\
				Док-во индукцией по к\\
				k=1 - очевидно\\к-1=>: $ p \mid  \underbrace{f}{(f_1...f_{k-1})}\underbrace{g}{f_k}$.\\
				По лемме(1)  $p\mid f_1...f_{k-1}$.\\				
			$f = p_1p_2..p_r = q_1q_2...q_3$\\
			$p_i,q_j$ неразложим в $K[x], r\le s.$\\
			Тогда$p_1 \mid q_1...q_s.$ По лемме 2 сущ. $i: p_1\mid q_i. $ Перенумеруем, $p_1\mid q_1.$ Но $q_1$ перенумеруем, 
			$q_1 = e_1p_1, e_1 \in K, e_1\not= 0.\quad p_1p_2...p_s = e_1p_1q_2...q_s = p_1(e_1q_2...q_s).$\\Можно сократить,
			$p_2...p_r = e_1q_2...q_s$, Аналогично можно скоратить далее $p_2...p_r$. В итоге $q = \underbrace{\in K}{e_1e_2..e_r}q_{r+1}...r_s$.\\
			Если s>r, то ст$(e_1...e_rq_{r+1}...q_s)\ge1$. Противоречие. Значит, r=s и $p_i \sim q_i $ после подходящей перенумерации.
	\end{enumerate}
}
\subsubsection{Зам}
	Если в целостном кольце (ассоциативном, коммутативном, с 1, без делителей нуля) есть ещё ``деление с остатком'', то есть алгоритм Евклида
	для нахождения НОД. Есть критерий разрешимости линейных диофантовых ур-ий, сво-ва взаимно-простых эле-ов и однозначность разложения на множители.

\end{document}